結論から言うと、British Columbiaで法的な結婚をする際、結婚許可証（Marriage Licence）取得や挙式自体に「現住所証明」は不要です。居住要件もありませんので、観光の短期滞在者でも問題ないはずです。必要なのはパスポート等の身分証（通常は写真付きID）で、離婚歴があれば離婚証明などが求められると思います（最新要件はBC州の公式を確認してください）。
現地で実際に求められやすい場面
式場／公園の予約で「市民料金」を使う場合や、会場側が契約者の住所確認をしたい場合に住所証明を求められることがあります。また、会場により賠償責任保険や酒類提供の許可で住所記載の書類を聞かれることがあると思います。
使える可能性のある書類例
日本の運転免許証（住所記載）、クレジットカードの明細書、在留先ホテルの予約確認書、国際運転免許証など。
ただし受け付けるかは施設次第なので、事前にメールで可否を確認し、必要ならウェディングプランナーに仲介してもらうのが安全です。
手続きの流れ（BC州）
1）Marriage Licenceを発行所で取得（有効31日／手数料は100 CADのはずです）／2）Marriage Commissionerまたは宗教司式者を手配／3）成年証人2名を用意／4）挙式後にMarriage Certificateを申請、という流れになります。いずれも住所証明は不要のはずです。詳細はBC州公式を確認してください。
短期滞在者の実体験的アドバイス
私は市内公園を予約した際、住所証明を聞かれ、ホテル確認書と日本の免許証で通りました。事前連絡が肝心です。住所証明を回避したい場合は、民間会場ではなくビーチや小規模スタジオ＋Commissioner出張の組み合わせが柔軟でした。
日本側の手続き
日本での婚姻有効化には在バンクーバー日本総領事館での届出が必要です。必要書類や期限は総領事館サイトで確認してください。
参考サイト
Government of British Columbia（Marriage／Licences／Commissioners）
https://www2.gov.bc.ca
City of Vancouver（会場予約や市民料金の案内）
https://vancouver.ca
Government of Canada（一般情報）
https://www.canada.ca
Consulate-General of Japan in Vancouver（婚姻届）
https://www.vancouver.ca.emb-japan.go.jp
