基本は「receipt＝支払い後にもらう証拠」「bill＝これから支払う勘定／請求」。バンクーバーでは、レストランなどで会計をお願いするときはbillが無難、支払い後に証明が欲しいときはreceiptと言います。
場面別の使い分け
レストラン／バー
会計を頼むとき：“Could we get the bill, please?”（お会計お願いします）。アメリカ寄りの言い方でcheckも通じますが、カナダではbillが自然。割り勘は“Could we split the bill?”（割り勘でお願いします）。支払い後は“Could I have the receipt?”（レシートをください）。
カフェ／スーパー
レジでは支払い時に勘定書は出ません。必要なら“Could I get a receipt?”（レシートをください）。メール送付は“email receipt”（メールのレシート）、紙なら“printed receipt”。店員から“Do you need a receipt?”（レシート要りますか？）と聞かれることも多いです。
返品／経費精算
返品の可否確認では“Do you have the receipt?”（レシートはありますか？）と言われます。贈り物用はgift receipt（価格非表示の交換用レシート）。会社の経費はitemized receipt（明細付きレシート）を求められがち。取引先からの正式な請求はinvoice（請求書）で、支払い後に受け取るのがreceiptです。バーで会計を貯めるのはtab（ツケ／取り置き勘定）。
体感的に、レストランでbill、それ以外はreceiptと言えばまず困りません。迷ったら「支払い前＝bill／支払い後＝receipt」で判断すると実用的です。
参考サイト
Cambridge Dictionary（receipt）
https://dictionary.cambridge.org/
Merriam-Webster Dictionary（bill）
https://www.merriam-webster.com/dictionary/bill
Collins Dictionary（invoice）
https://www.collinsdictionary.com/
